1. Решить тригонометрическое уравнение: 2 cos²x = 2 cos(π/2 + x)

Решение:

Данное уравнение: \( 2\cos^2 x = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \).

Упростим уравнение:

1. Сократим обе части на 2: \( \cos^2 x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \).
2. Используем тригонометрическое тождество: \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha \). Тогда уравнение примет вид: \( \cos^2 x = -\sin x \).
3. Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \): \( 1 - \sin^2 x = -\sin x \).
4. Перенесём все члены в одну сторону: \( \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \).
5. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Получим квадратное уравнение: \( t^2 - t - 1 = 0 \).
6. Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 \).
7. Найдём корни уравнения для \( t \): \( t_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), \( t_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \).
8. Так как \( t = \sin x \), то \( \sin x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) или \( \sin x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \).
9. Значение \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \), что больше 1. Синус не может быть больше 1, поэтому \( \sin x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) не имеет решений.
10. Рассмотрим \( \sin x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \). Значение \( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618 \). Так как \( -1 \le -0.618 \le 1 \), это уравнение имеет решения.
11. Общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
12. Тогда \( x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).