2. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Привет! Разбираем вторую задачку про конус.

Дано:

• Конус.
• Плоскость сечения проходит через вершину конуса.
• Основание конуса пересечено по хорде длиной 5 см.
• Хорда стягивает дугу в 90°.
• Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса равен 60°.

Найти:

• Площадь боковой поверхности конуса ($$ S_{бок} $$).

Формула для площади боковой поверхности конуса:

$$ S_{бок} = \pi \times r \times l $$, где $$ r $$ — радиус основания конуса, $$ l $$ — длина образующей конуса.

План решения:

1. Найдем радиус основания конуса ($$ r $$).
2. Найдем образующую конуса ($$ l $$).
3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Шаг 1: Находим радиус основания ($$ r $$).

Хорда в основании конуса имеет длину 5 см и стягивает дугу 90°. Это значит, что если мы соединим концы хорды с центром основания, мы получим равнобедренный треугольник с углом при центре 90°. Радиус основания ($$ r $$) будет гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$$ r^2 = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 $$ (здесь 5/2 — половина хорды, так как хорда делит окружность на две части, а дуга 90° — это четверть окружности, и радиусы, проведенные к концам хорды, образуют прямой угол).

Подожди, тут есть нюанс. Хорда 5 см стягивает дугу 90°. Это означает, что треугольник, образованный радиусами и хордой, — равнобедренный прямоугольный. Если радиус $$ r $$, то по теореме Пифагора: $$ 5^2 = r^2 + r^2 $$ — это неверно. Правильно будет так: хорда является катетом, если угол при центре 90 градусов. Тогда $$ r $$ - это радиус. В прямоугольном треугольнике, где угол 90 градусов, противолежащая гипотенуза будет $$ \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2} $$. Это не наш случай.

Давай представим основание конуса. Это круг. В этом круге есть хорда длиной 5 см, которая стягивает дугу 90°. Радиусы, проведенные к концам хорды, образуют центральный угол 90°. Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, — равнобедренный. Его боковые стороны — это радиус $$ r $$. Угол между ними — 90°. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$$ 5^2 = r^2 + r^2 $$ — это опять ошибка. Хорда 5 см — это основание равнобедренного треугольника, а $$ r $$ — это его боковые стороны. Угол между $$ r $$ и $$ r $$ равен 90°. Тогда:

$$ 5^2 = r^2 + r^2 $$ — снова неверно.

Правильно будет так: треугольник с боковыми сторонами $$ r $$ и углом между ними 90° имеет основание (хорду) 5 см. По теореме косинусов:

$$ 5^2 = r^2 + r^2 - 2 \times r \times r \times \cos(90^\circ) $$

$$ 25 = 2r^2 - 2r^2 \times 0 $$

$$ 25 = 2r^2 $$

$$ r^2 = \frac{25}{2} $$

$$ r = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} $$ см.

Шаг 2: Находим образующую конуса ($$ l $$).

Плоскость сечения проходит через вершину конуса и хорду. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен 60°. Этот угол — угол между образующей конуса и радиусом основания, проведенным к концу хорды (если плоскость проходит через центр основания, то угол 0). Но плоскость проходит через вершину и хорду.

Рассмотрим треугольник, образованный вершиной конуса, центром основания и серединой хорды. Это прямоугольный треугольник. Высота конуса ($$ H $$) — один катет, половина хорды ($$ \frac{5}{2} $$) — второй катет, а проекция образующей на плоскость основания (расстояние от центра до конца хорды, т.е. $$ r $$) — это гипотенуза. Этот треугольник не подходит.

Правильный подход: Рассмотрим сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду. Это треугольник. Высота этого треугольника — высота конуса ($$ H $$). Основание треугольника — хорда 5 см. Угол между этой плоскостью и плоскостью основания — 60°. Этот угол — это угол между высотой конуса ($$ H $$) и радиусом основания ($$ r $$) в точке, где из середины хорды опущен перпендикуляр на центр основания. Это угол между $$ H $$ и $$ r $$. Неверно. Угол 60° — это угол между высотой конуса ($$ H $$) и образующей ($$ l $$), проходящей через конец хорды.

Давай так: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса ($$ H $$), радиусом основания ($$ r $$) и образующей ($$ l $$), угол между $$ H $$ и $$ r $$ равен 90°. Угол, который образует плоскость сечения с плоскостью основания, равен 60°. Это угол между высотой конуса ($$ H $$) и образующей ($$ l $$), проходящей через конец хорды. Не совсем. Угол 60° — это угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса ($$ H $$), проекцией хорды на плоскость основания (которая является половиной хорды, т.е. $$ \frac{5}{2} $$), и частью образующей, этот угол 60° находится между $$ H $$ и $$ l $$. Но это неверно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет — высота конуса ($$ H $$), другой катет — расстояние от центра основания до хорды, а гипотенуза — образующая ($$ l $$). Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания — это угол между высотой конуса ($$ H $$) и радиусом основания ($$ r $$). Неверно.

Вернемся к углу 60°. Это угол между плоскостью сечения (вершина, хорда) и плоскостью основания (окружность). Проведем из середины хорды перпендикуляр к основанию (он будет равен $$ r $$), и из вершины конуса опустим высоту ($$ H $$) на основание. Угол 60° — это угол между $$ H $$ и $$ r $$, где $$ r $$ — радиус, проведенный к концу хорды. Нет.

Давай так. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной конуса, центром основания и серединой хорды. Пусть $$ M $$ — середина хорды. $$ O $$ — центр основания. $$ V $$ — вершина конуса. $$ VM $$ — это высота плоскости сечения. $$ VO = H $$ — высота конуса. $$ OM $$ — расстояние от центра до хорды. $$ \triangle VOM $$ — прямоугольный треугольник. Угол $$ \angle VMO $$ — это угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, то есть 60°. $$ VO = H $$. $$ OM $$ — катет, $$ VM $$ — гипотенуза.

Мы знаем, что хорда 5 см стягивает дугу 90°. Радиус $$ r = \frac{5 \sqrt{2}}{2} $$. Расстояние от центра до хорды ($$ OM $$) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Или из треугольника $$ \triangle O M K $$, где $$ K $$ — конец хорды. $$ OK=r $$. $$ MK = \frac{5}{2} $$. $$ \angle MOK = 45^\circ $$.
$$ OM = r \times \cos(45^\circ) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \times 2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 $$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ \triangle VOM $$:
$$ \tan(60^\circ) = \frac{VO}{OM} = \frac{H}{2.5} $$.
$$ H = 2.5 \times \tan(60^\circ) = 2.5 \times \sqrt{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} $$ см.

Теперь найдем образующую $$ l $$ через прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $$ H $$, радиусом основания $$ r $$, и образующей $$ l $$.
$$ l^2 = H^2 + r^2 $$.

$$ l^2 = (\frac{5 \sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{5 \sqrt{2}}{2})^2 $$

$$ l^2 = \frac{25 \times 3}{4} + \frac{25 \times 2}{4} $$

$$ l^2 = \frac{75}{4} + \frac{50}{4} = \frac{125}{4} $$

$$ l = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5 \sqrt{5}}{2} $$ см.

Шаг 3: Вычисляем площадь боковой поверхности ($$ S_{бок} $$).

$$ S_{бок} = \pi \times r \times l $$

$$ S_{бок} = \pi \times \frac{5 \sqrt{2}}{2} \times \frac{5 \sqrt{5}}{2} $$

$$ S_{бок} = \pi \times \frac{25 \sqrt{10}}{4} $$ см².

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна $$ \frac{25 \sqrt{10} \pi}{4} $$ см².