1. Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5π см². Найдите диаметр сферы.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии.

Что нам дано?

• Линия пересечения сферы и плоскости — это окружность.
• Эта окружность образована плоскостью, которая проходит через конец диаметра под углом 60° к нему.
• Длина этой окружности равна 5π см².

Что нужно найти?

• Диаметр сферы.

Как будем решать?

1. Находим радиус окружности:
   Длина окружности вычисляется по формуле $$ L = 2 \pi \times r $$, где $$ L $$ — длина окружности, а $$ r $$ — ее радиус.
   Нам дано, что $$ L = 5 \pi $$ см.
   Значит, $$ 5 \pi = 2 \pi \times r $$.
2. Находим радиус сферы:
   Представь себе сферу и плоскость. Линия пересечения — это окружность. Угол 60° дан между диаметром сферы и этой плоскостью. Этот угол — угол между диаметром сферы и плоскостью окружности.
   Пусть $$ R $$ — радиус сферы, а $$ r $$ — радиус окружности. Тогда $$ r = R \times \sin(60^\circ) $$.
3. Связываем все вместе:
   Мы знаем, что $$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$.

Вычисления:

1. Из формулы длины окружности: $$ 5 \pi = 2 \pi \times r $$.
   Делим обе части на $$ 2 \pi $$: $$ r = \frac{5 \pi}{2 \pi} = \frac{5}{2} = 2.5 $$ см.
2. Теперь используем связь радиуса окружности и сферы: $$ r = R \times \sin(60^\circ) $$.
   Подставляем известные значения: $$ 2.5 = R \times \frac{\sqrt{3}}{2} $$.
3. Выражаем $$ R $$: $$ R = \frac{2.5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} $$.
   Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$ \sqrt{3} $$: $$ R = \frac{5 \sqrt{3}}{3} $$ см.
4. Нам нужен диаметр сферы, который равен $$ D = 2R $$.
   $$ D = 2 \times \frac{5 \sqrt{3}}{3} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} $$ см.

Ответ: Диаметр сферы равен $$ \frac{10 \sqrt{3}}{3} $$ см.