2.5. Вектор а имеет длину 8, вектор b имеет длину 6, а их скалярное произведение равно -24. Найдите угол между ними.

Решение:

Для нахождения угла между двумя векторами используется формула скалярного произведения:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \)

где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \alpha \) — угол между ними.

Нам известны:

• \( |\vec{a}| = 8 \)
• \( |\vec{b}| = 6 \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -24 \)

Выразим косинус угла из формулы:

\( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \)

Подставим известные значения:

\( \cos(\alpha) = \frac{-24}{8 \cdot 6} \)

\( \cos(\alpha) = \frac{-24}{48} \)

\( \cos(\alpha) = -\frac{1}{2} \)

Теперь найдём угол \( \alpha \). Угол, косинус которого равен \( -\frac{1}{2} \), равен \( 120^\circ \) (или \( \frac{2\pi}{3} \) радиан).

Ответ: 120°