2.122. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. Проверьте, взаимно ли простые числа в каждой паре.

а) Среди первых 500 натуральных чисел получаются 35 пар простых чисел-близнецов.

б) Используем числа \(6n-1\) и \(6n+1\).

1. При \(n=87\): \(6\cdot87-1=521\), \(6\cdot87+1=523\). Пара: 521 и 523. \(\gcd(521,523)=1\).
2. При \(n=135\): \(6\cdot135-1=809\), \(6\cdot135+1=811\). Пара: 809 и 811. \(\gcd(809,811)=1\).
3. При \(n=165\): \(6\cdot165-1=989\), \(6\cdot165+1=991\). Пара: 989 и 991. \(\gcd(989,991)=1\).

Ответ: 35 пар; все три рассмотренные пары взаимно простые.