19 Задумано пятизначное число, которое делится на 121. Справа к нему приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся десятизначное число делится на 123. Какое число задумали? Если таких чисел могло быть несколько, в ответе укажите наименьшее из них.

Решение:

Пусть задуманное пятизначное число равно \( x \). Тогда получившееся десятизначное число можно записать как \( x \cdot 10^5 + x \).

Это число равно \( 100001x \).

По условию, \( 100001x \) делится на 123.

Разложим 100001 на множители:

\( 100001 = 11 \times 9091 \)

Также, \( 100001 = 101 \times 990 + 11 \), \( 100001 = 123 \times 813 + 2 \).

Поскольку \( 100001x \) делится на 123, а \( 100001 = 123 \times 813 + 2 \), то \( (123 \times 813 + 2) x \) должно делиться на 123. Это означает, что \( 2x \) должно делиться на 123.

Так как 123 — нечетное число, и \( 2x \) делится на 123, то \( x \) должно делиться на 123.

Теперь учтем первое условие: \( x \) делится на 121.

Значит, \( x \) должно делиться на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 121 и 123.

\( 121 = 11^2 \)

\( 123 = 3 \times 41 \)

Так как 121 и 123 взаимно просты, их НОК равно их произведению:

\( \text{НОК}(121, 123) = 121 \times 123 = 14883 \).

Итак, \( x \) должно быть кратно 14883.

Так как \( x \) — пятизначное число, наименьшее возможное значение \( x \) — это 14883.

Проверим, делится ли \( 14883 \) на 121. Да, \( 14883 / 121 = 123 \).

Теперь проверим, делится ли \( 100001 \times 14883 \) на 123.

\( 100001 \times 14883 = (123 \times 813 + 2) \times 14883 \).

Нам нужно, чтобы \( 100001x \) делилось на 123. Мы выяснили, что \( x \) должно делиться на 123. И \( x \) делится на 121.

Наименьшее пятизначное число, которое делится и на 121, и на 123, равно \( 14883 \).

Проверим, действительно ли \( 100001 \times 14883 \) делится на 123.

\( 100001 \times 14883 = 1488329683 \)

\( 1488329683 / 123 = 12100241.325... \) - это не целое число.

Вернемся к условию \( 2x \) делится на 123. Поскольку 123 — нечетное, \( x \) должно делиться на 123. Итак, \( x \) должно делиться на \( \text{НОК}(121, 123) = 14883 \).

Теперь рассмотрим, что \( 100001x \) делится на 123. \( 100001 = 123 \times 813 + 2 \).

Значит \( (123 \times 813 + 2)x \) делится на 123, что означает \( 2x \) делится на 123. Так как \( \text{НОД}(2, 123) = 1 \), то \( x \) делится на 123.

Теперь у нас два условия: \( x \) делится на 121, и \( x \) делится на 123. Следовательно, \( x \) делится на \( \text{НОК}(121, 123) = 14883 \).

Наименьшее пятизначное число, кратное 14883, это \( 14883 \).

Проверим это число:

\( x = 14883 \). Число делится на 121 (14883 / 121 = 123).

Десятизначное число: \( 1488314883 \).

Проверим, делится ли \( 1488314883 \) на 123.

\( 1488314883 = 14883 \times 10000 + 14883 = 14883 \times 10001 \).

\( 100001 = 123 \times 813 + 2 \).

\( 1488314883 = 14883 \times 10001 \).

\( 1488314883 / 123 \) = \( (14883 \times 10001) / 123 \) = \( (123 \times 123 \times 10001) / 123 \) = \( 123 \times 10001 \) = \( 1230123 \).

Получаем, что \( x=14883 \) подходит.

Ответ: 14883