19. (3 балла) Решите уравнение 5cos²x - 5cosx = 0. В ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [-π;3π].

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( 5\cos x \) из уравнения:

\( 5\cos x (\cos x - 1) = 0 \)

2. Это уравнение распадается на два:
• \( 5\cos x = 0 \rightarrow \cos x = 0 \)
• \( \cos x - 1 = 0 \rightarrow \cos x = 1 \)
3. Решим первое уравнение \( \cos x = 0 \) на промежутке \( [- \pi; 3\pi] \):

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

• Если \( k = -1 \), \( x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \) (не входит в промежуток).
• Если \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \).
• Если \( k = 1 \), \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \).
• Если \( k = 2 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \).
• Если \( k = 3 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \) (не входит в промежуток).

Таким образом, решения: \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \).

4. Решим второе уравнение \( \cos x = 1 \) на промежутке \( [- \pi; 3\pi] \):

\( x = 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

• Если \( n = -1 \), \( x = -2\pi \) (не входит в промежуток).
• Если \( n = 0 \), \( x = 0 \).
• Если \( n = 1 \), \( x = 2\pi \).
• Если \( n = 2 \), \( x = 4\pi \) (не входит в промежуток).

Таким образом, решения: \( 0, 2\pi \).

5. Объединим все найденные решения: \( 0, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2} \).

Ответ: 5 решений.