17. (3 балла) Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 6√2см. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра.

Решение:

1. Пусть сторона квадрата (осевого сечения) равна \( a \). Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).
2. По условию \( d = 6\sqrt{2} \) см. Следовательно, \( a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \), откуда \( a = 6 \) см.
3. Высота цилиндра \( h = a = 6 \) см.
4. Диаметр основания цилиндра равен стороне квадрата, \( D = a = 6 \) см. Радиус основания \( r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
5. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{бок} = 2\pi rh \):

\( S_{бок} = 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 36\pi \) см².

6. Объем цилиндра вычисляется по формуле \( V = \pi r^2 h \):

\( V = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi \) см³.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 36\pi \) см², объем цилиндра равен \( 54\pi \) см³.