19) (3 балла) Решите неравенство log₁ (x+5)³ - 3 / 2

Решение:

Условие существования логарифма: \( x+5 > 0 \), следовательно \( x > -5 \).

Неравенство: \( \log_2{(x+5)^3} - 3 < 0 \).

Перенесем 3 в правую часть:

\[ \log_2{(x+5)^3} < 3 \]

Представим 3 как логарифм по основанию 2:

\[ 3 = \log_2{2^3} = \log_2{8} \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \log_2{(x+5)^3} < \log_2{8} \]

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2{x} \) возрастающая. Поэтому можно опустить знак логарифма, сохранив знак неравенства:

\[ (x+5)^3 < 8 \]

Извлечем кубический корень из обеих частей:

\[ x+5 < \sqrt[3]{8} \]

\[ x+5 < 2 \]

Выразим \( x \):

\[ x < 2 - 5 \]

\[ x < -3 \]

Учитывая условие существования логарифма \( x > -5 \), получаем:

\[ -5 < x < -3 \]

Ответ: \( x \in (-5; -3) \).