17) (3 балла) Найдите корни уравнения 4^x + 2^(x+1) - 6 = 0.

Решение:

Запишем уравнение, используя свойства степеней:

\[ (2^2)^x + 2^x \cdot 2^1 - 6 = 0 \]

\[ (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 6 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = 2^x \). Поскольку \( 2^x \) всегда больше нуля, то \( t > 0 \).

Получим квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ t^2 + 2t - 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 + 2\sqrt{7}}{2} = -1 + \sqrt{7} \]

\[ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2} = -1 - \sqrt{7} \]

Так как \( t > 0 \), то \( t_2 = -1 - \sqrt{7} \) не подходит, потому что оно отрицательное.

Рассмотрим \( t_1 = -1 + \sqrt{7} \). Это значение положительное, так как \( \sqrt{7} > \sqrt{1} = 1 \).

Теперь вернемся к замене \( t = 2^x \):

\[ 2^x = -1 + \sqrt{7} \]

Для нахождения \( x \) воспользуемся логарифмированием:

\[ x = \log_2{(-1 + \sqrt{7})} \]

Ответ: \( x = \log_2{(-1 + \sqrt{7})} \).