19.(3 балла) Найдите наибольшее значение функции y=12√2 cos x+12x-3π+9 на отрезке [0; π/2].

Краткая запись:

• Функция: \( y = 12\sqrt{2} \cos x + 12x - 3\pi + 9 \)
• Отрезок: \( [0; \frac{\pi}{2}] \)
• Найти: Наибольшее значение функции — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем производную функции: \( y' = \frac{d}{dx} (12\sqrt{2} \cos x + 12x - 3\pi + 9) \).
2. Шаг 2: \( y' = -12\sqrt{2} \sin x + 12 \).
3. Шаг 3: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( -12\sqrt{2} \sin x + 12 = 0 \).
4. Шаг 4: \( 12\sqrt{2} \sin x = 12 \) \( \sin x = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Шаг 5: Решением уравнения \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) является \( x = \frac{\pi}{4} \).
6. Шаг 6: Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
7. Шаг 7: При \( x = 0 \): \( y(0) = 12\sqrt{2} \cos 0 + 12 \cdot 0 - 3\pi + 9 = 12\sqrt{2} \cdot 1 + 0 - 3\pi + 9 = 12\sqrt{2} - 3\pi + 9 \approx 16.97 - 9.42 + 9 = 17.55 \).
8. Шаг 8: При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( y(\frac{\pi}{4}) = 12\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} + 12 \cdot \frac{\pi}{4} - 3\pi + 9 = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3\pi - 3\pi + 9 = 12 \cdot \frac{2}{2} + 9 = 12 + 9 = 21 \).
9. Шаг 9: При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y(\frac{\pi}{2}) = 12\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{2} + 12 \cdot \frac{\pi}{2} - 3\pi + 9 = 12\sqrt{2} \cdot 0 + 6\pi - 3\pi + 9 = 3\pi + 9 \approx 9.42 + 9 = 18.42 \).
10. Шаг 10: Сравнивая полученные значения, находим наибольшее: \( 17.55, 21, 18.42 \). Наибольшее значение равно 21.

Ответ: 21