18. Тип 18 № 8726 / В прямоугольной трапеции ABCD > основаниями AD и БС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали В.), если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

18. Тип 18 № 8726 / В прямоугольной трапеции ABCD > основаниями AD и БС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали В.), если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

Трапеция ABCD – прямоугольная.
AD || BC.
AC – биссектриса угла A.
Угол A = 45°.
Меньшее основание = 10√2.

Решение:

В прямоугольной трапеции один из углов при основании прямой. По условию, угол A = 45°, значит, угол D = 90°, а угол C = 90°.
Так как AC – биссектриса угла A, то она делит его пополам:
$$ \angle BAC = \angle CAD = \frac{45°}{2} = 22.5° $$
Так как AD || BC, то
$$ \angle BCA = \angle CAD = 22.5° $$
(как накрест лежащие углы).
В прямоугольном треугольнике ACD:
$$ \angle ACD = 90° - \angle CAD = 90° - 22.5° = 67.5° $$
В трапеции ABCD, угол A = 45°, угол D = 90°, угол C = 90°.
Угол B = 180° - угол A = 180° - 45° = 135° (так как AB || CD, и AD – секущая, углы A и B односторонние).
В прямоугольной трапеции меньшее основание может быть CD или BC. Если BC – меньшее основание, то BC = 10√2.
Если BC = 10√2, то в прямоугольном треугольнике BCD,
$$ BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} $$
Однако, нам нужно найти диагональ BD.
Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что
$$ \angle BAC = 22.5° $$
и
$$ \angle BCA = 22.5° $$
. Это означает, что треугольник ABC – равнобедренный с AB = BC.
Так как BC – меньшее основание, то BC = 10√2.
Следовательно, AB = 10√2.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.
Угол D = 90°.
AB = 10√2.
AD – большее основание.
В прямоугольной трапеции, если диагональ является биссектрисой угла при одном из углов основания, то трапеция равнобедренная, если прилежащие к ней стороны равны.
В нашем случае, AB = BC.
Значит, трапеция является равнобедренной, что противоречит условию прямоугольной трапеции (где есть прямые углы).
Переосмыслим условие: «В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A».
В прямоугольной трапеции один из боковых сторон является высотой. Пусть это будет AB. Тогда угол B = 90°, угол A = 90°. Это также противоречит условию, что угол A = 45°.
Значит, боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и BC. Тогда угол D = 90° и угол C = 90°.
Угол A = 45°.
AC – биссектриса угла A, значит
$$ \angle BAC = \angle CAD = 22.5° $$
Так как AD || BC, то
$$ \angle BCA = \angle CAD = 22.5° $$
(накрест лежащие).
В прямоугольном треугольнике BCD,
$$ \angle CBD = 90° - \angle BCD = 90° - 90° = 0° $$
- это невозможно.
Значит, BC – меньшее основание, BC = 10√2.
В треугольнике ABC:
$$ \angle BAC = 22.5° $$
,
$$ \angle BCA = 22.5° $$
. Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 10√2.
Угол A = 45°.
Угол B = 180° - 45° = 135° (если AD || BC).
В прямоугольной трапеции, углы при одном из оснований равны 90°. Если углы D и C равны 90°, то AB – высота.
Угол A = 45°.
Угол B = 180° - 45° = 135° (односторонние углы AD || BC).
Если AB – высота, то угол B = 90°, что противоречит 135°.
Значит, CD – высота. Угол D = 90°, угол C = 90°.
Угол A = 45°.
AC – биссектриса угла A =>
$$ \angle BAC = \angle CAD = 22.5° $$
AD || BC =>
$$ \angle BCA = \angle CAD = 22.5° $$
(накрест лежащие).
В прямоугольном треугольнике BCD:
$$ CD = BC \tan(\angle CBD) $$
.
В прямоугольной трапеции, меньшее основание равно высоте, если углы при большем основании 45° и 135°.
Угол A = 45°. Угол D = 90°.
Пусть BC – меньшее основание, BC = 10√2.
Так как AC – биссектриса угла A, то
$$ \angle BAC = 22.5° $$
.
В треугольнике ABC,
$$ \angle ABC = 180° - 90° - 22.5° = 67.5° $$
(сумма углов треугольника).
Это противоречит тому, что угол B = 135°.
Давайте предположим, что AD – большее основание.
Угол A = 45°. Угол D = 90°.
BC – меньшее основание, BC = 10√2.
AC – биссектриса угла A,
$$ \angle BAC = \angle CAD = 22.5° $$
.
Из
$$ \angle CAD = 22.5° $$
и
$$ \angle ADC = 90° $$
, в треугольнике ADC,
$$ \angle ACD = 180° - 90° - 22.5° = 67.5° $$
.
Так как AD || BC, то
$$ \angle BCA = \angle CAD = 22.5° $$
.
Тогда
$$ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 22.5° + 67.5° = 90° $$
. Это соответствует прямоугольной трапеции.
Итак, у нас есть:

Угол A = 45°, Угол B = 135°, Угол C = 90°, Угол D = 90°.
BC = 10√2 (меньшее основание).
AB – высота, так как углы A и B не могут быть 90° одновременно.
CD – высота, так как углы C и D равны 90°.
Если CD – высота, то CD = AB.
Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD = 22.5°, Угол D = 90°.
$$ \tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} $$
=>
$$ \tan(22.5°) = \frac{CD}{AD} $$
$$ \tan(22.5°) = \sqrt{2} - 1 $$
$$ AD = \frac{CD}{\sqrt{2}-1} = CD(\sqrt{2}+1) $$
Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 22.5°, Угол BCA = 22.5°.
Значит, треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 10√2.
Так как CD – высота, CD = AB = 10√2.
Теперь найдем AD:
$$ AD = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 10\sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = 10(2 + \sqrt{2}) = 20 + 10\sqrt{2} $$
Нам нужно найти диагональ BD.
В прямоугольном треугольнике BCD:

BC = 10√2
CD = 10√2
$$ BD^2 = BC^2 + CD^2 $$
$$ BD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 $$
$$ BD^2 = (100 \times 2) + (100 \times 2) = 200 + 200 = 400 $$
$$ BD = \sqrt{400} = 20 $$

Проверка:
Если AB = BC = 10√2, то угол A = 45° и угол B = 135°.
В прямоугольной трапеции, если один из углов равен 45°, а другой 90°, то противоположный угол равен 135°.
Если AB = CD (как высоты), то трапеция является прямоугольником, что не так.
Возвращаемся к условию: AC – биссектриса угла A.
Пусть BC = 10√2 (меньшее основание).
В прямоугольной трапеции ABCD (углы C=D=90°), AC – биссектриса угла A=45°.
$$ \angle CAD = 22.5° $$
.
$$ \angle BCA = 22.5° $$
.
Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 10√2.
Угол B = 180° - 45° = 135°.
Если AB = 10√2, и угол B = 135°, то это не прямоугольная трапеция.
Значит, AD – большее основание.
Пусть AB – высота, тогда угол A = 90°, что противоречит условию.
CD – высота, угол D = 90°, угол C = 90°.
Угол A = 45°.
AC – биссектриса,
$$ \angle BAC = \angle CAD = 22.5° $$
.
BC – меньшее основание = 10√2.
В треугольнике ABC:
$$ \angle BCA = \angle CAD = 22.5° $$
(накрест лежащие).
Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 10√2.
Так как CD – высота, CD = AB = 10√2.
В прямоугольном треугольнике BCD:

BC = 10√2
CD = 10√2
$$ BD^2 = BC^2 + CD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 = 200 + 200 = 400 $$
$$ BD = 20 $$

Проверка:
Если AB = 10√2 и BC = 10√2, то угол A = 45°, а угол B = 135°.
В прямоугольной трапеции с углами C=90°, D=90°, A=45°, B=135°.
AD – большее основание.
BC – меньшее основание, BC = 10√2.
CD – высота.
AB – боковая сторона.
$$ \text{Из } \angle A = 45°, \angle D = 90° \text{ следует, что } CD = AD - BC = AD - 10\sqrt{2} $$
$$ \text{В } \triangle ACD: \tan(22.5°) = \frac{CD}{AD} $$
$$ \sqrt{2}-1 = \frac{CD}{AD} $$
$$ CD = AD(\sqrt{2}-1) $$
$$ AD - 10\sqrt{2} = AD(\sqrt{2}-1) $$
$$ AD - AD\sqrt{2} + AD = 10\sqrt{2} $$
$$ 2AD - AD\sqrt{2} = 10\sqrt{2} $$
$$ AD(2 - \sqrt{2}) = 10\sqrt{2} $$
$$ AD = \frac{10\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{20\sqrt{2} + 20}{4-2} = \frac{20\sqrt{2} + 20}{2} = 10\sqrt{2} + 10 $$
$$ CD = AD - 10\sqrt{2} = (10\sqrt{2} + 10) - 10\sqrt{2} = 10 $$
$$ BD^2 = BC^2 + CD^2 = (10\sqrt{2})^2 + 10^2 = 200 + 100 = 300 $$
$$ BD = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} $$
Окончательная проверка:
AD = 10√2 + 10, BC = 10√2, CD = 10.
Угол A = 45°, Угол D = 90°, Угол C = 90°.
AC – биссектриса угла A (45°).
$$ \angle BAC = \angle CAD = 22.5° $$
В
$$ \triangle ADC $$
:
$$ \tan(22.5°) = \frac{CD}{AD} = \frac{10}{10\sqrt{2}+10} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1 $$
. Это верно.
Значит, CD = 10.
BC = 10√2.
В прямоугольном
$$ \triangle BCD $$
:
$$ BD^2 = BC^2 + CD^2 = (10\sqrt{2})^2 + 10^2 = 200 + 100 = 300 $$
$$ BD = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} $$

Ответ:

$$ 10\sqrt{3} $$

Ответ:

Похожие