18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник ABC с вершинами в узлах сетки, см. рисунок. Найдите длину его медианы СМ.

Решение:

Для определения длины медианы \(CM\), сначала найдём координаты вершин треугольника \(A\), \(B\) и \(C\) в системе координат, считая, что левая нижняя точка сетки соответствует началу координат \((0,0)\).

По рисунку: \(A = (1, 3)\), \(B = (7, 1)\), \(C = (6, 6)\).

Медиана \(CM\) соединяет вершину \(C\) с серединой \(M\) противоположной стороны \(AB\).

Найдем координаты точки \(M\) - середины отрезка \(AB\):

\(M_x = \frac{A_x + B_x}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

\(M_y = \frac{A_y + B_y}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Таким образом, координаты точки \(M = (4, 2)\).

Теперь найдём длину отрезка \(CM\) используя формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \(d = √{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

\(C = (6, 6)\), \(M = (4, 2)\).

\(CM = √{(4 - 6)^2 + (2 - 6)^2}\)

\(CM = √{(-2)^2 + (-4)^2}\)

\(CM = √{4 + 16}\)

\(CM = √{20}\)

Упростим корень: \(√{20} = √{4 · 5} = 2√{5}\).

Длина медианы \(CM\) равна \(2√{5}\) см.

Ответ: \(2√{5}\) см.