18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= х² и у=2х+3 и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Построение фигуры:

Найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^2 \) (парабола) и \( y = 2x + 3 \) (прямая).

Приравняем правые части уравнений:

\( x^2 = 2x + 3 \)

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).

\( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = 3 \): \( y = 3^2 = 9 \) или \( y = 2(3) + 3 = 9 \). Точка пересечения: \( (3; 9) \).

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 = 1 \) или \( y = 2(-1) + 3 = 1 \). Точка пересечения: \( (-1; 1) \).

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 \) и прямой \( y = 2x + 3 \) между точками \( x = -1 \) и \( x = 3 \).

2. Вычисление площади:

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на промежутке \( [a; b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом промежутке, вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)

В нашем случае, на промежутке \( [-1; 3] \) прямая \( y = 2x + 3 \) находится выше параболы \( y = x^2 \) (можно проверить, взяв точку, например, \( x=0 \): \( 2(0)+3 = 3 \), \( 0^2 = 0 \), \( 3 > 0 \)).

Значит, \( f(x) = 2x + 3 \) и \( g(x) = x^2 \).

\( S = \int_{-1}^{3} ((2x + 3) - x^2) dx \)

\( S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx \)

Проинтегрируем:

\( S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x]_{-1}^{3} \)

\( S = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} \)

Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах:

\( S = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)) \)

\( S = (-\frac{27}{3} + 9 + 9) - (-\frac{-1}{3} + 1 - 3) \)

\( S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} - 2) \)

\( S = 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3}) \)

\( S = 9 - (-\frac{5}{3}) \)

\( S = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27}{3} + \frac{5}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.