17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию y=1/3x³+x²-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Для исследования функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \) на монотонность и экстремумы, найдём её производную:

\( y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x) \)

\( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 3 \)

\( y' = x^2 + 2x - 3 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).

\( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 1) \) и \( (1; +\infty) \).

Определим знак производной на каждом интервале:

• На интервале \( (-\infty; -3) \) (например, при \( x = -4 \)): \( y'(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-3; 1) \) (например, при \( x = 0 \)): \( y'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1; +\infty) \) (например, при \( x = 2 \)): \( y'(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.

Точки экстремума:

• В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), следовательно, это точка максимума.
• В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), следовательно, это точка минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

\( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \)

\( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \)

Ответ:

• Промежутки возрастания: \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \)
• Промежуток убывания: \( [-3; 1] \)
• Точка максимума: \( (-3; 9) \)
• Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \)