17. Задумано двузначное число, которое делится на 9. К нему справа приписали это же число. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 7. Какое число задумали?

Решение:

Пусть задуманное двузначное число равно \( x \). Так как число двузначное и делится на 9, оно может быть одним из следующих: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.

Когда к числу \( x \) справа приписали это же число, получилось четырёхзначное число. Это можно представить как \( 100x + x \), то есть \( 101x \).

Теперь проверим, какое из чисел \( 101x \) делится на 7, где \( x \) — это двузначное число, делящееся на 9.

• Если \( x = 18 \), то \( 101 × 18 = 1818 \). \( 1818 \div 7 = 259.71 \) (не делится).
• Если \( x = 27 \), то \( 101 × 27 = 2727 \). \( 2727 \div 7 = 389.57 \) (не делится).
• Если \( x = 36 \), то \( 101 × 36 = 3636 \). \( 3636 \div 7 = 519.42 \) (не делится).
• Если \( x = 45 \), то \( 101 × 45 = 4545 \). \( 4545 \div 7 = 649.28 \) (не делится).
• Если \( x = 54 \), то \( 101 × 54 = 5454 \). \( 5454 \div 7 = 779.14 \) (не делится).
• Если \( x = 63 \), то \( 101 × 63 = 6363 \). \( 6363 \div 7 = 909 \) (делится).

Мы нашли такое число. Задуманное число — 63.

Ответ: 63.