17. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA = 18° и ∠BDC = 97°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как в трапеции ABCD AB = CD, то трапеция является равнобедренной. Это означает, что углы при основании равны, а диагонали равны.

1. Рассмотрим треугольник BCD:

В треугольнике BCD известны два угла: \( \angle BDC = 97^\circ \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть \( \angle CBD = x \).

\( \angle BCD = 180^\circ - 97^\circ - x \)

2. Используем свойство равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции равны, то есть \( AC = BD \).

Углы, которые диагонали образуют с одним из оснований, равны. \( \angle ADB = \angle ACB \) и \( \angle CAD = \angle CBD \).

Так как \( AB = CD \), то \( \angle BAC = \angle BDA = 18^\circ \) (углы, опирающиеся на равные стороны).

3. Рассмотрим треугольник ABD:

Мы знаем \( \angle BDA = 18^\circ \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны: \( \angle BAD = \angle CDA \).

\( \angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ \).

Это противоречит тому, что \( \angle BAD \) и \( \angle CDA \) — углы при основании трапеции, так как в трапеции углы при одном основании должны быть острыми, а при другом тупыми. Следовательно, AD является меньшим основанием, а BC — большим.

Пересмотрим условие: AB=CD означает, что трапеция равнобедренная. Углы при основании AD равны, то есть \( \angle DAB = \angle CDA \). Углы при основании BC равны, то есть \( \angle ABC = \angle BCD \).

4. Повторно рассматриваем углы:

\( \angle BDA = 18^\circ \).

\( \angle BDC = 97^\circ \).

\( \angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle BAD = \angle ADC = 115^\circ \). Это невозможно, так как сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \).

Возможно, AD и BC — боковые стороны, а AB и CD — основания. Но по рисунку похоже, что AD и BC — основания.

Перечитаем условие: AB=CD — это боковые стороны, значит трапеция равнобедренная. AD и BC — основания.

5. Правильно расставим углы:

\( \angle BDA = 18^\circ \).

\( \angle BDC = 97^\circ \).

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ \).

\( \angle BAD = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \) (углы, прилежащие к боковой стороне AB).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Углы при основании BC равны, углы при основании AD равны.

\( \angle DAB = 65^\circ \).

\( \angle BCD = 180^\circ - \angle ABC \).

\( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \).

\( \angle BCD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).

Это противоречит \( \angle ADC = 115^\circ \).

Давайте предположим, что AD и BC — основания. Тогда AB и CD — боковые стороны. AB = CD означает, что трапеция равнобедренная.

Углы при основании AD равны: \( \angle BAD = \angle CDA \).

Углы при основании BC равны: \( \angle ABC = \angle BCD \).

\( \angle BDA = 18^\circ \).

\( \angle BDC = 97^\circ \).

\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 18^\circ + 97^\circ = 115^\circ \).

Так как \( \angle BAD = \angle ADC \), то \( \angle BAD = 115^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов равна 180°.

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle BAD = 180^\circ \)

\( \angle ABD + 18^\circ + 115^\circ = 180^\circ \)

\( \angle ABD + 133^\circ = 180^\circ \)

\( \angle ABD = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ \).

Проверка:

Если \( \angle ABD = 47^\circ \) и \( \angle BDA = 18^\circ \), то \( \angle BAD = 180 - 47 - 18 = 115^\circ \).

\( \angle ADC = 115^\circ \).

\( \angle BCD = 180 - 115 = 65^\circ \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 47^\circ + \angle DBC \).

\( \angle ABC = \angle BCD = 65^\circ \).

\( 47^\circ + \angle DBC = 65^\circ \) \(\implies \angle DBC = 18^\circ \).

\( \angle BDC = 97^\circ \).

В треугольнике BCD: \( \angle CBD = 18^\circ \), \( \angle BDC = 97^\circ \), \( \angle BCD = 180 - 18 - 97 = 65^\circ \). Это совпадает.

Ответ: 47.