17. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Дано:

• Трапеция равнобедренная.
• Высота \( h = 3 \).
• Меньшее основание \( b = 5 \).
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).
• Найти большее основание \( a \).

На рисунке видно, что если из вершины меньшего основания опустить высоту на большее основание, то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Высота \( h = 3 \) — противолежащий катет к углу \( 45^{\circ} \).
• Отрезок большего основания, прилежащий к углу \( 45^{\circ} \) (обозначим его \( x \)), — прилежащий катет.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

\( \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \)

\( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x} \)

Поскольку \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), имеем:

\( 1 = \frac{3}{x} \)

\( x = 3 \)

В равнобедренной трапеции отрезки, образованные высотами на большем основании, равны. То есть, если провести две высоты, то по бокам от меньшего основания образуются два равных отрезка \( x \).

Большее основание \( a \) равно сумме меньшего основания \( b \) и двух этих отрезков \( x \):

\( a = b + 2x \)

\( a = 5 + 2 \times 3 \)

\( a = 5 + 6 \)

\( a = 11 \)

Ответ: 11