17. Тип 17 № 7268 Найдите значение выражения $$\sqrt{88 + 32\sqrt{6}} - 2\sqrt{6}$$.

Цель: Упростить выражение и найти его значение.

Шаг 1: Упростим подкоренное выражение

Нам нужно представить $$88 + 32\sqrt{6}$$ в виде квадрата суммы вида $$(a + b\sqrt{c})^2$$ или $$(a\sqrt{c} + b)^2$$.

Раскроем $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$.

В нашем случае $$32\sqrt{6}$$ — это удвоенное произведение. Разделим $$32\sqrt{6}$$ на 2, чтобы получить $$ab$$: $$16\sqrt{6}$$.

Теперь нам нужно разбить $$16\sqrt{6}$$ на два множителя так, чтобы их квадраты в сумме дали 88.

Попробуем представить $$16\sqrt{6}$$ как $$2 imes a imes b$$.

Предположим, что $$a$$ или $$b$$ содержит $$\sqrt{6}$$.

Вариант 1: $$a = \sqrt{6}$$. Тогда $$2ab = 2 imes \sqrt{6} imes b = 32\sqrt{6}$$, откуда $$2b = 32$$, $$b = 16$$.

Проверим сумму квадратов: $$a^2 + b^2 = (\sqrt{6})^2 + 16^2 = 6 + 256 = 262$$. Это не 88.

Вариант 2: $$a$$ и $$b$$ содержат множители, дающие $$\sqrt{6}$$.

Заметим, что $$32\sqrt{6} = 2 imes 16 imes \sqrt{6}$$.

Попробуем представить $$16\sqrt{6}$$ как $$2 imes 8 imes \sqrt{6}$$.

Тогда $$a=8$$ и $$b=\sqrt{6}$$. Проверим сумму квадратов:

$$a^2 + b^2 = 8^2 + (\sqrt{6})^2 = 64 + 6 = 70$$. Это не 88.

Вариант 3: Попробуем представить $$32\sqrt{6}$$ как $$2 imes 4 imes 4\sqrt{6}$$ или $$2 imes 8 imes 2\sqrt{6}$$...

Попробуем представить $$32\sqrt{6}$$ как $$2 imes (16 ext{ и } rac{\sqrt{6}}{1})$$.

Рассмотрим $$32 ext{ и } ext{akar}( ext{6})$$. $$32 ext{akar}( ext{6}) = 2 * 16 * ext{akar}( ext{6})$$.

Попробуем представить $$32\sqrt{6}$$ как $$2 imes 4 imes 4 ext{akar(6)}$$.

Можем представить $$32\sqrt{6}$$ как $$2 imes (16)$$ и $$(\sqrt{6})$$.

В выражении $$88 + 32 ext{akar(6)}$$, $$32 ext{akar(6)} = 2 imes 16 imes ext{akar(6)}$$.

Перепишем $$32\sqrt{6}$$ как $$2 imes 4 imes 4 imes \sqrt{6}$$.

Правильный подход:

Мы хотим представить $$88 + 32 ext{akar(6)}$$ в виде $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$.

Пусть $$2ab = 32 ext{akar(6)}$$, тогда $$ab = 16 ext{akar(6)}$$.

Разложим $$16 ext{akar(6)}$$ на множители $$a$$ и $$b$$. Возможные варианты для $$a$$ и $$b$$ (с учетом того, что $$a^2+b^2=88$$):

• Если $$a = 16$$, $$b = ext{akar(6)}$$. Тогда $$a^2+b^2 = 16^2 + ( ext{akar(6)})^2 = 256 + 6 = 262$$ (не подходит).
• Если $$a = 4 ext{akar(6)}$$, $$b = 4$$. Тогда $$a^2+b^2 = (4 ext{akar(6)})^2 + 4^2 = (16 imes 6) + 16 = 96 + 16 = 112$$ (не подходит).
• Если $$a=8$$, $$b=2 ext{akar(6)}$$. Тогда $$a^2+b^2 = 8^2 + (2 ext{akar(6)})^2 = 64 + (4 imes 6) = 64 + 24 = 88$$. Это подходит!

Значит, $$88 + 32 ext{akar(6)} = (8 + 2 ext{akar(6)})^2$$.

Тогда $$\sqrt{88 + 32 ext{akar(6)}} = \sqrt{(8 + 2 ext{akar(6)})^2} = 8 + 2 ext{akar(6)}$$.

Шаг 2: Подставим упрощенное выражение обратно в исходное

\[ (8 + 2 ext{akar(6)}) - 2 ext{akar(6)} \]

Шаг 3: Вычислим

\[ 8 + 2 ext{akar(6)} - 2 ext{akar(6)} = 8 \]

Ответ: 8