15. Тип 15 № 5452 Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 234 м². Первый каменщик в день укладывает на 8 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 4 дня быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик? Запишите решение и ответ.

Дано:

• Площадь каждого участка: 234 м².
• Разница в производительности: Первый каменщик укладывает на 8 м²/день больше второго.
• Разница во времени: Первый каменщик работает на 4 дня быстрее.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть $$x$$ — производительность второго каменщика (м²/день).
   • Тогда производительность первого каменщика — $$x + 8$$ (м²/день).
   • Время работы второго каменщика — $$t_2$$ (дней).
   • Время работы первого каменщика — $$t_1 = t_2 - 4$$ (дней).
2. Составим уравнения:
   • Работа = Производительность × Время
   • Для первого каменщика: $$234 = (x + 8) imes (t_2 - 4)$$
   • Для второго каменщика: $$234 = x imes t_2$$
3. Выразим $$t_2$$ из второго уравнения: $$t_2 = rac{234}{x}$$
4. Подставим $$t_2$$ в первое уравнение: $$234 = (x + 8) imes (rac{234}{x} - 4)$$
5. Раскроем скобки и решим уравнение:
   • $$234 = x imes rac{234}{x} - 4x + 8 imes rac{234}{x} - 32$$
   • $$234 = 234 - 4x + rac{1872}{x} - 32$$
   • $$0 = -4x + rac{1872}{x} - 32$$
   • Умножим всё на $$x$$ (при условии $$x eq 0$$): $$0 = -4x^2 + 1872 - 32x$$
   • Перенесем всё в одну сторону и разделим на $$-4$$: $$x^2 + 8x - 468 = 0$$
6. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$
   $$D = 8^2 - 4 imes 1 imes (-468) = 64 + 1872 = 1936$$
   $$\sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44$$
   $$x_1 = \frac{-8 + 44}{2} = \frac{36}{2} = 18$$
   $$x_2 = \frac{-8 - 44}{2} = \frac{-52}{2} = -26$$
7. Выбираем подходящий корень: Производительность не может быть отрицательной, поэтому $$x = 18$$ м²/день (производительность второго каменщика).
8. Находим производительность первого каменщика: $$x + 8 = 18 + 8 = 26$$ м²/день.

Проверка:

• Второй каменщик: 234 м² / 18 м²/день = 13 дней.
• Первый каменщик: 234 м² / 26 м²/день = 9 дней.
• Разница во времени: 13 - 9 = 4 дня. Все сходится.

Ответ: Первый каменщик укладывает 26 квадратных метров плитки в день.