17. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 5°. Длина меньшей дуги АВ равна 33. Найдите длину большей дуги.

Задание 17. Длина дуги окружности

Дано:

• Окружность с центром О.
• Точки А и В на окружности.
• Центральный угол \( \angle AOB = 5^\circ \).
• Длина меньшей дуги AB = 33.

Найти: длину большей дуги AB.

Решение:

Полный круг составляет \( 360^\circ \). Центральный угол \( \angle AOB = 5^\circ \) соответствует меньшей дуге AB.

Чтобы найти длину большей дуги, нам нужно знать, какой угол она составляет.

Угол, соответствующий большей дуге, равен \( 360^\circ - \angle AOB \).

\[ \text{Угол большей дуги} = 360^\circ - 5^\circ = 355^\circ \]

Длина дуги окружности пропорциональна величине центрального угла, который её образует.

Пусть \( L_{меньшая} \) — длина меньшей дуги, а \( L_{большая} \) — длина большей дуги.

Составим пропорцию:

\[ \frac{L_{меньшая}}{\angle AOB_{меньший}} = \frac{L_{большая}}{\angle AOB_{больший}} \]\[ \frac{33}{5^\circ} = \frac{L_{большая}}{355^\circ} \]

Теперь найдём \( L_{большая} \):

\[ L_{большая} = \frac{33 \cdot 355^\circ}{5^\circ} \]\[ L_{большая} = 33 \cdot \frac{355}{5} \]\[ L_{большая} = 33 \cdot 71 \]

Вычислим произведение:

\[ 33 \cdot 71 = 33 \cdot (70 + 1) = 33 \cdot 70 + 33 \cdot 1 = 2310 + 33 = 2343 \]

Ответ: 2343.