17. Ира загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 15, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Ира, если известно, что загаданное число больше 170, но меньше 200?

Решение:

Обозначим загаданное Ирой число как \[ X \].

По условию, когда \[ X \] делят на 15, получается частное ( \[ q \]) и остаток ( \[ r \]). Мы можем записать это как:

\[ X = 15q + r \]

где \[ 0 \leq r < 15 \].

По условию задачи, остаток ( \[ r \]) в 2 раза меньше, чем частное ( \[ q \]). Значит:

\[ r = \frac{q}{2} \]

Из этого следует, что \[ q = 2r \].

Так как остаток \[ r \] должен быть меньше 15, то \[ 2r < 15 \], откуда \[ r < 7.5 \].

Также, так как \[ r \] — это остаток от деления на 15, он должен быть неотрицательным, то есть \[ r \geq 0 \].

Также, частное \[ q \] должно быть целым числом. Если \[ r = \frac{q}{2} \], то \[ q \] должно быть чётным числом, чтобы \[ r \] было целым.

Возможные значения для \[ r \] (целые, неотрицательные, меньше 7.5): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Соответствующие значения для \[ q \] (удвоенное \[ r \]): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.

Теперь подставим эти пары ( \[ q \], \[ r \]) в формулу \[ X = 15q + r \] и проверим, попадает ли \[ X \] в диапазон (170; 200).

• Если \[ q = 0, r = 0 \]: \[ X = 15 \times 0 + 0 = 0 \] (не подходит)
• Если \[ q = 2, r = 1 \]: \[ X = 15 \times 2 + 1 = 30 + 1 = 31 \] (не подходит)
• Если \[ q = 4, r = 2 \]: \[ X = 15 \times 4 + 2 = 60 + 2 = 62 \] (не подходит)
• Если \[ q = 6, r = 3 \]: \[ X = 15 \times 6 + 3 = 90 + 3 = 93 \] (не подходит)
• Если \[ q = 8, r = 4 \]: \[ X = 15 \times 8 + 4 = 120 + 4 = 124 \] (не подходит)
• Если \[ q = 10, r = 5 \]: \[ X = 15 \times 10 + 5 = 150 + 5 = 155 \] (не подходит)
• Если \[ q = 12, r = 6 \]: \[ X = 15 \times 12 + 6 = 180 + 6 = 186 \] (подходит! 170 < 186 < 200)
• Если \[ q = 14, r = 7 \]: \[ X = 15 \times 14 + 7 = 210 + 7 = 217 \] (не подходит)

Единственное число, удовлетворяющее всем условиям, это 186.

Ответ: Ира загадала число 186.