17) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

а) Нахождение высоты пирамиды:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на основание (которая является радиусом описанной окружности около основания).
2. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Диагональ квадрата \( d = a \sqrt{2} \), где \( a \) — сторона квадрата.
3. Радиус описанной окружности \( R \) равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
4. Угол между боковым ребром \( L = 4 \) см и плоскостью основания равен 45°.
5. В прямоугольном треугольнике: \( \tan(45°) = \frac{H}{R} \), где \( H \) — высота пирамиды.
6. Так как \( \tan(45°) = 1 \), то \( H = R \).
7. Значит, \( H = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
8. Из условия \( L=4 \) см и \( H=R \), мы можем найти \( H \): \( L^2 = H^2 + R^2 \). Так как \( H = R \), то \( L^2 = 2H^2 \).
9. \( 4^2 = 2H^2 \)
10. \( 16 = 2H^2 \)
11. \( H^2 = 8 \)
12. \( H = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.

б) Нахождение площади боковой поверхности пирамиды:

1. Сторона основания \( a \) равна \( R \frac{2}{\sqrt{2}} = H \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \) см.
2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \times h_{апофемы} \).
3. Найдем апофему (высоту боковой грани) \( h_{апофемы} \). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности (который равен половине стороны основания \( r = a/2 = 4/2 = 2 \) см): \( h_{апофемы}^2 = H^2 + r^2 \).
4. \( h_{апофемы}^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 \)
5. \( h_{апофемы}^2 = 8 + 4 \)
6. \( h_{апофемы}^2 = 12 \)
7. \( h_{апофемы} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) см.
8. Периметр основания \( P_{осн} = 4 \times a = 4 \times 4 = 16 \) см.
9. \( S_{бок} = \frac{1}{2} \times 16 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см².

Ответ: а) Высота пирамиды равна \( 2\sqrt{2} \) см. б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 16\sqrt{3} \) см².