17. (3 балла) Докажите тождество: \(\frac{\sin^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\)

Доказательство:

Начнём с преобразования левой части тождества:

\( \frac{\sin^4 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} \)

Вынесем общий множитель \( \sin^2 x \) из числителя:

\( \frac{\sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\cos^2 x} \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \):

\( \frac{\sin^2 x \cdot 1}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \)

Теперь преобразуем правую часть тождества:

\( \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \):

\( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \)

Левая и правая части тождества равны \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \), следовательно, тождество доказано.

Тождество доказано.