166. Решите уравнение методом замены переменной: 3) (x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0; 4) (x^2 + 4x - 4)^2 - 9x^2 - 36x + 44 = 0;

Решение:

3) (x² + 3x)² - 2(x² + 3x) - 8 = 0;

1. Замена: Пусть y = x2 + 3x. Уравнение примет вид: y2 - 2y - 8 = 0.
2. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-2)2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36. Корень из дискриминанта √ D = 6.
3. Значения y:
   y1 = (2 + 6) / 2 = 4
y2 = (2 - 6) / 2 = -2
4. Обратная замена:
   x2 + 3x = 4 ⇒ x2 + 3x - 4 = 0.
   Дискриминант D = 32 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25. Корень из дискриминанта √ D = 5.
   x1 = (-3 + 5) / 2 = 1.
   x2 = (-3 - 5) / 2 = -4.
   x2 + 3x = -2 ⇒ x2 + 3x + 2 = 0.
   Дискриминант D = 32 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1. Корень из дискриминанта √ D = 1.
   x3 = (-3 + 1) / 2 = -1.
   x4 = (-3 - 1) / 2 = -2.

4) (x² + 4x - 4)² - 9x² - 36x + 44 = 0;

1. Преобразование: Обратим внимание, что -9x2 - 36x = -9(x2 + 4x).
2. Замена: Выделим x2 + 4x. Заметим, что x2 + 4x = (x2 + 4x - 4) + 4. Пусть y = x2 + 4x. Тогда y + 4 = x2 + 4x - 4.
3. Подстановка: (y + 4)2 - 9(x2 + 4x) + 44 = 0 ⇒ (y + 4)2 - 9y + 44 = 0.
4. Раскрытие скобок: y2 + 8y + 16 - 9y + 44 = 0 ⇒ y2 - y + 60 = 0.
5. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-1)2 - 4 * 1 * 60 = 1 - 240 = -239. Действительных корней нет.

Ответ:

• 3) x = 1, x = -4, x = -1, x = -2
• 4) Действительных корней нет.