166. Решите уравнение методом замены переменной: 1) (x^2 - 9)^2 - 4(x^2 - 9) + 3 = 0; 2) (x + 5)^4 - 10(x + 5)^2 + 9 = 0;

Решение:

1) (x² - 9)² - 4(x² - 9) + 3 = 0;

1. Замена: Пусть y = x2 - 9. Уравнение примет вид: y2 - 4y + 3 = 0.
2. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-4)2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Корень из дискриминанта √ D = 2.
3. Значения y:
   y1 = (4 + 2) / 2 = 3
y2 = (4 - 2) / 2 = 1
4. Обратная замена:
   x2 - 9 = 3 ⇒ x2 = 12 ⇒ x = ±√12 = ±2√3.
   x2 - 9 = 1 ⇒ x2 = 10 ⇒ x = ±√10.

2) (x + 5)⁴ - 10(x + 5)² + 9 = 0;

1. Замена: Пусть y = (x + 5)2. Уравнение примет вид: y2 - 10y + 9 = 0.
2. Решение квадратного уравнения: Дискриминант D = (-10)2 - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64. Корень из дискриминанта √ D = 8.
3. Значения y:
   y1 = (10 + 8) / 2 = 9
y2 = (10 - 8) / 2 = 1
4. Обратная замена:
   (x + 5)2 = 9 ⇒ x + 5 = ±3.
   x + 5 = 3 ⇒ x = -2.
   x + 5 = -3 ⇒ x = -8.
   (x + 5)2 = 1 ⇒ x + 5 = ±1.
   x + 5 = 1 ⇒ x = -4.
   x + 5 = -1 ⇒ x = -6.

Ответ:

• 1) x = ±2√3, x = ±√10
• 2) x = -2, x = -8, x = -4, x = -6