16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) $b_1=40$, $b_2=-20$; 2) $b_7=12$, $b_{11}=\frac34$; 3) $b_7=-30$, $b_6=15$; 4) $b_5=9$, $b_{10}=-\frac1{27}$.

Question

$Фото задания: 16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) $b_1=40$, $b_2=-20$; 2) $b_7=12$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии необходимо, чтобы члены были положительными и $0<q<1$.

\[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{40}=-\frac12.\] Знаменатель отрицательный, поэтому прогрессия чередуется и бесконечно убывающей не является.
\[b_{11}=b_7q^4,\qquad \frac34=12q^4,\qquad q^4=\frac1{16}.\] Поэтому $q=\frac12$ или $q=-\frac12$. При $q=\frac12$ прогрессия бесконечно убывающая, а при $q=-\frac12$ она чередуется и не является убывающей. По данным условия однозначный выбор знака невозможен.
\[b_6=b_7q^{-1},\qquad q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{-30}{15}=-2.\] Так как $|q|>1$ и знаменатель отрицательный, прогрессия не является бесконечно убывающей.
\[b_{10}=b_5q^5,\qquad -\frac1{27}=9q^5,\qquad q^5=-\frac1{243}=-\frac1{3^5}.\] Следовательно, $q=-\frac13$. Знаменатель отрицательный, поэтому прогрессия чередуется и не является бесконечно убывающей.

Ответ: 1) нет; 2) при $q=\frac12$ — да, при $q=-\frac12$ — нет; 3) нет; 4) нет.

16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) \(b_1=40\), \(b_2=-20\); 2) \(b_7=12\), \(b_{11}=\frac34\); 3) \(b_7=-30\), \(b_6=15\); 4) \(b_5=9\), \(b_{10}=-\frac1{27}\).