16. В треугольнике АВС AC = BC = 27, AH — высота, cos BAC = 2/3. Найдите ВН.

Решение:

В треугольнике АВС \( AC = BC = 27 \) и \( \cos \angle BAC = \frac{2}{3} \). Треугольник равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике \( BAC = ABC \). Значит, \( \cos \angle ABC = \frac{2}{3} \).

AH — высота. Нам нужно найти ВН. Если предположить, что АН — высота, опущенная на сторону ВС, то \( AH \perp BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. В нем \( BH = AB \cos ABH \). \( ABH = ABC \).

Сначала найдем АВ. По теореме косинусов: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC \cos \angle BAC \).

\( 27^2 = AB^2 + 27^2 - 2 AB 27 \frac{2}{3} \).

\( 0 = AB^2 - 2 AB 27 \frac{2}{3} \).

\( 0 = AB^2 - 36 AB \).

\( AB(AB - 36) = 0 \).

Так как АВ — сторона треугольника, \( AB \neq 0 \). Следовательно, \( AB = 36 \).

Теперь в прямоугольном треугольнике АНВ: \( BH = AB \cos ABC \).

\( BH = 36 \frac{2}{3} = 24 \).

Ответ: ВН = 24.