13. В треугольнике АВС АС = BC = 4√15, sin ВАС = 0,25. Найдите высоту АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС (так как АС = ВС) высота АН, проведенная из вершины угла А к основанию ВС, не является медианой или биссектрисой. У нас есть данные для нахождения высоты, проведенной из вершины С к основанию АВ, но в задании просят найти высоту АН.

Для нахождения высоты АН, которая является высотой, проведенной из вершины А к стороне ВС, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить как \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \) или как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \) (где CH — высота к AB), или через формулу \( S = \frac{1}{2} ab sin C \).

Также, мы знаем \( \sin \angle BAC \) и длины сторон АС и ВС. В треугольнике АВС, \( AC = BC = 4\sqrt{15} \) и \( \sin \angle BAC = 0.25 = \frac{1}{4} \).

Площадь треугольника можно найти как \( S = \frac{1}{2} \cdot AC AB \sin \angle BAC \). Но мы не знаем АВ.

По теореме синусов: \( \frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB} \).

Из \( \frac{BC}{\sin \angle BAC} = \frac{AC}{\sin \angle ABC} \) и \( AC=BC \), следует \( \sin \angle BAC = \sin \angle ABC \).

Так как \( \angle BAC \) и \( \angle ABC \) — углы равнобедренного треугольника, они равны. Это возможно, если треугольник равносторонний, но тогда \( \sin \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \), что не равно 0.25.

Рассмотрим другой подход. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} AC AH \) неправильно. AH — высота к BC, поэтому \( S = \frac{1}{2} BC AH \).

В прямоугольном треугольнике АНС (если Н лежит на ВС) мы имеем \( AH = AC \sin \angle C \) или \( AH = AC \sin \angle ACB \). Но нам неизвестен \( \angle ACB \).

Дано \( AC = BC = 4\sqrt{15} \) и \( \sin \angle BAC = 0.25 \). Используем теорему косинусов для нахождения АВ: \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB AC \cos \angle BAC \).

Сначала найдём \( \cos \angle BAC \). Так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), то \( \cos^2 \angle BAC = 1 - (0.25)^2 = 1 - 0.0625 = 0.9375 \). \( \cos \angle BAC = \sqrt{0.9375} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Теперь подставим в теорему косинусов: \( (4\sqrt{15})^2 = AB^2 + (4\sqrt{15})^2 - 2 AB (4\sqrt{15}) \frac{\sqrt{15}}{4} \).

\( 16 15 = AB^2 + 16 15 - 2 AB \sqrt{15} \sqrt{15} \).

\( 240 = AB^2 + 240 - 2 AB 15 \).

\( 0 = AB^2 - 30 AB \).

\( AB(AB - 30) = 0 \).

Так как АВ — сторона треугольника, \( AB \neq 0 \), следовательно \( AB = 30 \).

Теперь найдём площадь треугольника. \( S = \frac{1}{2} AC AB \sin \angle BAC = \frac{1}{2} 4\sqrt{15} 30 0.25 = \frac{1}{2} 4\sqrt{15} 30 \frac{1}{4} = 15\sqrt{15} \).

Также площадь равна \( S = \frac{1}{2} BC AH \).

\( 15\sqrt{15} = \frac{1}{2} 4\sqrt{15} AH \).

\( 15\sqrt{15} = 2\sqrt{15} AH \).

\( AH = \frac{15\sqrt{15}}{2\sqrt{15}} = \frac{15}{2} = 7.5 \).

Ответ: AH = 7,5.