16. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 75°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между этими хордой и касательной.

Пусть прямая, касающаяся окружности в точке К, — это прямая L. Угол между касательной L и хордой KM равен 75°.

Это означает, что величина дуги, отсекаемой хордой KM (без учета точки касания), равна:

\[ \text{Дуга } KM = 2 \cdot 75^{\circ} = 150^{\circ} \]

Угол OMК — это угол в треугольнике OKM. OK и OM — радиусы окружности, поэтому треугольник OKM — равнобедренный.

Центральный угол, опирающийся на дугу KM, равен величине этой дуги:

\[ \angle KOM = 150^{\circ} \]

В равнобедренном треугольнике OKM углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°.

\[ \angle OMK + \angle OKM + \angle KOM = 180^{\circ} \]

Так как \( \angle OMK = \angle OKM \) (углы при основании равнобедренного треугольника), то:

\[ 2 \cdot \angle OMK + 150^{\circ} = 180^{\circ} \]

Решим для \( \angle OMK \):

\[ 2 \cdot \angle OMK = 180^{\circ} - 150^{\circ} \]

\( 2 \cdot \angle OMK = 30^{\circ} \)

\( \angle OMK = \frac{30^{\circ}}{2} \)

\( \angle OMK = 15^{\circ} \)

Ответ: 15.