16. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Смотри, как это работает:

Здесь нам нужно вспомнить свойства углов, связанных с окружностью, и свойства треугольников.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как AC — диаметр, то угол ABC, опирающийся на диаметр, равен 90°.
2. Шаг 2: В прямоугольном треугольнике ABC, сумма острых углов равна 90°. Мы знаем, что \( ∠ ACB = 54° \), значит, \( ∠ CAB = 90° - 54° = 36° \).
3. Шаг 3: Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AD.
4. Шаг 4: Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB — радиусы), поэтому \( ∠ OAB = ∠ OBA = 36° \).
5. Шаг 5: Угол AOD является внешним углом для треугольника AOB. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов.
6. Шаг 6: \( ∠ AOD = ∠ OAB + ∠ OBA = 36° + 36° = 72° \).
7. Шаг 7: Альтернативный способ: Угол CAD (он же CAB) равен 36°. Угол COD — центральный, угол CBD — вписанный, опирающийся на дугу CD. \( ∠ CBD = 90° - 54° = 36° \). Центральный угол \( ∠ COD = 2 ∠ CBD = 2 ∠ CAB = 2 ∠ CAD = 2 ∠ OAD = 2 ∠ ODA = 72° \).

Ответ: 72