16. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 24 и ВС = 16. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Давайте разберемся с условием задачи. У нас есть отрезок AB, на котором лежит точка C. Точка A — центр окружности, и эта окружность проходит через точку C.

• Радиус окружности \( r \) равен расстоянию от центра A до точки C, то есть \( r = AC = 24 \).
• Точка B находится на продолжении отрезка AC (или на отрезке AB, но так, что C между A и B), и нам дано, что \( BC = 16 \).
• Общее расстояние от центра A до точки B будет \( AB = AC + CB = 24 + 16 = 40 \).
• Из точки B проведена касательная к окружности. Пусть точка касания будет T. Отрезок BT — это и есть искомая касательная.
• По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания (AT), перпендикулярен касательной (BT). То есть \( \angle ATB = 90^{\circ} \).
• Таким образом, треугольник ATB является прямоугольным, где:
• AT — радиус окружности, \( AT = 24 \).
• AB — гипотенуза (расстояние от центра до точки, из которой проведена касательная), \( AB = 40 \).
• BT — искомый отрезок касательной.

Используем теорему Пифагора для треугольника ATB:

\( AT^2 + BT^2 = AB^2 \)

\( 24^2 + BT^2 = 40^2 \)

\( 576 + BT^2 = 1600 \)

\( BT^2 = 1600 - 576 \)

\( BT^2 = 1024 \)

\( BT = \sqrt{1024} \)

Чтобы найти корень из 1024, можно заметить, что \( 30^2 = 900 \) и \( 32^2 = (30+2)^2 = 900 + 2 × 30 × 2 + 4 = 900 + 120 + 4 = 1024 \).

\( BT = 32 \).

Ответ: 32