15. В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin ∠A = 4/5, AC = 9. Найдите АВ.

Решение:

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Дано:

• \( \sin A = \frac{4}{5} \)
• \( AC = 9 \)

Нужно найти гипотенузу \( AB \).

1. Вспомним определение синуса в прямоугольном треугольнике: \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).
2. В нашем случае противолежащий катет для угла A — это BC, а гипотенуза — AB. Значит, \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
3. Однако, нам известен прилежащий катет AC. Поэтому удобнее использовать косинус. Найдем \( \cos A \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).
   \( (\frac{4}{5})^2 + \cos^2 A = 1 \)
   \( \frac{16}{25} + \cos^2 A = 1 \)
   \( \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
   \( \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (так как угол A острый, косинус положительный).
4. Теперь вспомним определение косинуса: \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).
5. Прилежащий катет к углу A — это AC, а гипотенуза — AB. Значит, \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
6. Подставим известные значения: \( \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \).
7. Найдем AB: \( AB = \frac{9 \times 5}{3} = \frac{45}{3} = 15 \).

Ответ: 15