16. Диагональ АС ромба ABCD равна 44, а tg∠BCA=0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей. Радиус вписанной окружности равен высоте, опущенной из центра на сторону.

Дано:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 44
• tg∠BCA = 0,75

Нужно найти радиус вписанной окружности (r).

1. Найдем половину диагонали AC:

\[ AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{44}{2} = 22 \]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC:

Угол ∠BCA = ∠BOC / 2 (так как диагонали делят углы ромба пополам). Нет, это не так. Угол ∠BCA — это угол между диагоналями.

Диагонали пересекаются в точке О. Треугольник BOC — прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. У нас есть ∠BCA. В прямоугольном треугольнике BOC:

\[ \text{tg}\angle BCA = \frac{BO}{OC} \]

Мы знаем, что tg∠BCA = 0,75 и OC = 22.

\[ 0,75 = \frac{BO}{22} \]

Выразим BO:

\[ BO = 0,75 \times 22 = \frac{3}{4} \times 22 = \frac{66}{4} = 16,5 \]

3. Найдем длину диагонали BD:

\[ BD = 2 \times BO = 2 \times 16,5 = 33 \]

4. Найдем сторону ромба BC (по теореме Пифагора из ΔBOC):

\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 \]

\[ BC^2 = (16,5)^2 + (22)^2 \]

\[ BC^2 = 272,25 + 484 = 756,25 \]

\[ BC = \sqrt{756,25} = 27,5 \]

5. Найдем радиус вписанной окружности:

Площадь ромба можно найти как произведение половины диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 44 \times 33 = 22 \times 33 = 726 \]

Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту. В нашем случае, высота (h) – это диаметр вписанной окружности (2r).

\[ S = BC \times h = BC \times 2r \]

\[ 726 = 27,5 \times 2r \]

\[ 2r = \frac{726}{27,5} \]

\[ 2r = 26,4 \]

\[ r = \frac{26,4}{2} = 13,2 \]

Ответ: 13,2