16. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 8.

Решение:

Пусть данный конус имеет высоту \( H \) и объём \( V \).

Плоскость, проведённая параллельно основанию, отсекает от большого конуса меньший конус.

Точка делит высоту в отношении 1:4, считая от вершины. Это значит, что высота меньшего конуса \( h \) относится к высоте большего конуса \( H \) как 1 к \( 1+4=5 \).

\( h : H = 1 : 5 \) или \( h = \frac{1}{5}H \).

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 H \).

Конусы подобны, так как плоскость параллельна основанию.

Отношение объёмов подобных тел равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров (например, высот).

Пусть \( V_{больш} \) — объём большого конуса, а \( V_{мал} \) — объём малого конуса.

\( \frac{V_{мал}}{V_{больш}} = \left(\frac{h}{H}\right)^3 \)

Нам дан объём отсекаемого (меньшего) конуса \( V_{мал} = 8 \).

\( \frac{8}{V_{больш}} = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \)

\( \frac{8}{V_{больш}} = \frac{1}{125} \)

\( V_{больш} = 8 \cdot 125 \)

\( V_{больш} = 1000 \)

Ответ: 1000