15. В угол С, равный 79°, вписана окружность с центром О, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник САОВ. В нём угол ОСА = 79°.

Так как окружность вписана в угол и касается его сторон в точках А и В, то радиусы ОА и ОВ перпендикулярны сторонам угла в точках касания. Следовательно, углы ОАС и ОВС равны 90°.

Сумма углов в четырёхугольнике равна 360°. В четырёхугольнике САОВ:

\( \angle COA + \angle CAO + \angle AOB + \angle OBC = 360° \)

\( \angle COA \) - это не угол четырёхугольника. Правильно:

\( \angle SCA + \angle CAO + \angle AOB + \angle OBC = 360° \)

Но нам дан угол С = 79°. То есть, \( \angle SCA = 79° \). Это неверно, угол С - это вершина угла. Правильно, \( \angle C = 79° \).

В четырёхугольнике САОВ:

\( \angle C = 79° \)

\( \angle OAC = 90° \)

\( \angle OBC = 90° \)

Сумма углов четырёхугольника САОВ равна 360°:

\( \angle C + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360° \)

\( 79° + 90° + \angle AOB + 90° = 360° \)

\( 259° + \angle AOB = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 259° \)

\( \angle AOB = 101° \)

Ответ: 101