16. (3 балла) Заказ на 126 открыток первый дизайнер выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько открыток за час изготавливает первый дизайнер, если известно, что он за час может приготовить на 5 открыток больше второго?

Решение:

1. Пусть \( x \) — количество открыток, которое изготавливает второй дизайнер за час.
2. Тогда \( x+5 \) — количество открыток, которое изготавливает первый дизайнер за час.
3. Время, за которое второй дизайнер изготавливает 126 открыток: \( \frac{126}{x} \) часов.
4. Время, за которое первый дизайнер изготавливает 126 открыток: \( \frac{126}{x+5} \) часов.
5. По условию, первый дизайнер выполняет заказ на 5 часов быстрее, чем второй:
6. \( \frac{126}{x} - \frac{126}{x+5} = 5 \)
7. Приведем к общему знаменателю:
8. \( \frac{126(x+5) - 126x}{x(x+5)} = 5 \)
9. \( \frac{126x + 630 - 126x}{x^2 + 5x} = 5 \)
10. \( \frac{630}{x^2 + 5x} = 5 \)
11. \( 630 = 5(x^2 + 5x) \)
12. \( 126 = x^2 + 5x \)
13. \( x^2 + 5x - 126 = 0 \)
14. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-126) = 25 + 504 = 529 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \).
15. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-5 + 23}{2} = \frac{18}{2} = 9 \). \( x_2 = \frac{-5 - 23}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \).
16. Поскольку количество открыток не может быть отрицательным, \( x = 9 \) открыток/час — производительность второго дизайнера.
17. Производительность первого дизайнера: \( x+5 = 9+5 = 14 \) открыток/час.

Ответ: 14 открыток в час.