14. (2 балла) Решите уравнение cos²x + 2cosx=0. В ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 4π.]

Решение:

1. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (\cos x + 2) = 0 \).
2. Это уравнение распадается на два: \( \cos x = 0 \) или \( \cos x + 2 = 0 \).
3. Рассмотрим первое уравнение: \( \cos x = 0 \). Решениями являются \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.
4. Рассмотрим второе уравнение: \( \cos x = -2 \). Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса всегда находится в диапазоне \( [-1, 1] \).
5. Теперь найдем решения уравнения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) на промежутке \( [0; 4\pi] \).
6. При \( n=0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \).
7. При \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \).
8. При \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \).
9. При \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \).
10. При \( n=4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \) (это значение выходит за пределы промежутка \( [0; 4\pi] \)).
11. Таким образом, на промежутке \( [0; 4\pi] \) есть 4 решения.

Ответ: 4.