16. (3 балла) Решите уравнение: log2(x + 2) = 2 log2(-x).

Решение:

ОДЗ (область допустимых значений):

\( x + 2 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x > -2 \)

\( -x > 0 \) \(\Rightarrow\) \( x < 0 \)

Объединяя, получаем: \( -2 < x < 0 \).

Перепишем уравнение:

\( \log_2 (x + 2) = \log_2 ((-x)^2) \)

\( \log_2 (x + 2) = \log_2 (x^2) \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( x + 2 = x^2 \)

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим корни по ОДЗ (\( -2 < x < 0 \)):

\( x_1 = 2 \) — не удовлетворяет ОДЗ.

\( x_2 = -1 \) — удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = -1.