16. (3 балла) Решите неравенство: log_1/5 (3x - 4) ≥ log_1/5 (x² – 7x + 12)

Решение:

Данное неравенство содержит логарифмы с основанием \( \frac{1}{5} \). Так как основание \( 0 < \frac{1}{5} < 1 \), при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому, знак неравенства меняется на противоположный.

Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ) для аргументов логарифмов:

1. \( 3x - 4 > 0 \implies 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3} \)
2. \( x^2 - 7x + 12 > 0 \)

Решим квадратное неравенство \( x^2 - 7x + 12 > 0 \). Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 7x + 12 = 0 \):

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} \]

\[ x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \]

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 7x + 12 \) направлены вверх, то \( x^2 - 7x + 12 > 0 \) при \( x < 3 \) или \( x > 4 \).

Объединяя условия ОДЗ: \( x > \frac{4}{3} \) и \( (x < 3 \text{ или } x > 4) \), получаем:

\( \frac{4}{3} < x < 3 \) или \( x > 4 \).

Теперь решим само неравенство, поменяв знак:

\[ 3x - 4 \le x^2 - 7x + 12 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 0 \le x^2 - 7x - 3x + 12 + 4 \]

\[ x^2 - 10x + 16 \ge 0 \]

Решим квадратное неравенство \( x^2 - 10x + 16 \ge 0 \). Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 10x + 16 = 0 \):

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 \]

\[ x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} \]

\[ x_3 = \frac{10 - 6}{2} = 2 \]

\[ x_4 = \frac{10 + 6}{2} = 8 \]

Так как ветви параболы \( y = x^2 - 10x + 16 \) направлены вверх, то \( x^2 - 10x + 16 \ge 0 \) при \( x \le 2 \) или \( x \ge 8 \).

Теперь пересечём полученное решение \( (x \le 2 \text{ или } x \ge 8) \) с ОДЗ \( (\frac{4}{3} < x < 3 \text{ или } x > 4) \).

• Рассмотрим первый случай: \( x \le 2 \) и \( \frac{4}{3} < x < 3 \). Пересечение даст \( \frac{4}{3} < x \le 2 \).
• Рассмотрим второй случай: \( x \ge 8 \) и \( x > 4 \). Пересечение даст \( x \ge 8 \).

Объединяя оба случая, получаем решение.

Ответ: \( (\frac{4}{3}; 2] \cup [8; +\infty) \).