15. (2 балла) Найдите корень уравнения 2 log₂3 = log₂(4 - x) + log₂(1 – 2x)

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для аргументов логарифмов:

1. \( 4 - x > 0 \implies x < 4 \)
2. \( 1 - 2x > 0 \implies 1 > 2x \implies x < \frac{1}{2} \)

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: \( x < \frac{1}{2} \).

Преобразуем левую часть уравнения:

\[ 2 \log_2 3 = \log_2 (3^2) = \log_2 9 \]

Используем свойство логарифмов \( \log_b M + \log_b N = \log_b (M \cdot N) \) для правой части:

\[ \log_2 (4 - x) + \log_2 (1 - 2x) = \log_2 ((4 - x)(1 - 2x)) \]

Теперь уравнение имеет вид:

\[ \log_2 9 = \log_2 ((4 - x)(1 - 2x)) \]

Приравниваем аргументы логарифмов:

\[ 9 = (4 - x)(1 - 2x) \]

Раскроем скобки:

\[ 9 = 4 - 8x - x + 2x^2 \]

\[ 9 = 4 - 9x + 2x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2x^2 - 9x + 4 - 9 = 0 \]

\[ 2x^2 - 9x - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Проверим корни на соответствие ОДЗ \( x < \frac{1}{2} \):

• \( x_1 = 5 \) не удовлетворяет условию \( x < \frac{1}{2} \).
• \( x_2 = -\frac{1}{2} \) удовлетворяет условию \( x < \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x = -\frac{1}{2} \).