15. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=59° и ВМ=АМ=MC.

Решение:

В треугольнике АВС медиана ВМ проведена к стороне АС. По условию, ВМ = АМ = МС. Это значит, что точка М является центром описанной окружности для треугольника АВС, а АС — его диаметр.

Рассмотрим треугольник BМС. Так как ВМ = МС, он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠MBC = ∠C = 59°.

Сумма углов в треугольнике BМС: ∠BMC = 180° - (∠MBC + ∠C) = 180° - (59° + 59°) = 180° - 118° = 62°.

Угол ∠AMB является смежным к углу ∠BMC. Поэтому: ∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 62° = 118°.

Теперь рассмотрим треугольник АВМ. Так как ВМ = АМ, он тоже равнобедренный. Углы при основании равны: ∠MBA = ∠A.

Сумма углов в треугольнике АВМ: ∠AMB + ∠MBA + ∠A = 180°. Подставляем известные значения:

118° + ∠A + ∠A = 180°

118° + 2∠A = 180°

2∠A = 180° - 118°

2∠A = 62°

∠A = 31°

Ответ: 31