15. Тип 15 № 4205 Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть S — общее расстояние от А до В. Скорость первого автомобиля обозначим как v₁, а второго — как v₂.

1. Время первого автомобиля:

   Время, за которое первый автомобиль проехал весь путь S, равно t₁ = S / v₁.

2. Время второго автомобиля:

   Второй автомобиль проехал первую половину пути (S/2) со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути (S/2) со скоростью v₂. По условию, v₂ = v₁ + 9.

   Время второго автомобиля:

   • t₂ = (S/2) / 30 + (S/2) / (v₁ + 9)
   • t₂ = S / 60 + S / (2 * (v₁ + 9))
3. Условие одновременного прибытия:

   По условию, автомобили прибыли одновременно, значит, t₁ = t₂:

   • S / v₁ = S / 60 + S / (2 * (v₁ + 9))

   Разделим обе части на S (так как S ≠ 0):

   • 1 / v₁ = 1 / 60 + 1 / (2 * (v₁ + 9))
4. Решение уравнения:

   Приведем к общему знаменателю:

   • 1 / v₁ = (2 * (v₁ + 9) + 60) / (60 * 2 * (v₁ + 9))
   • 1 / v₁ = (2v₁ + 18 + 60) / (120 * (v₁ + 9))
   • 1 / v₁ = (2v₁ + 78) / (120v₁ + 1080)

   Перекрестное умножение:

   • 120v₁ + 1080 = v₁ * (2v₁ + 78)
   • 120v₁ + 1080 = 2v₁² + 78v₁

   Перенесем все в одну сторону:

   • 2v₁² + 78v₁ - 120v₁ - 1080 = 0
   • 2v₁² - 42v₁ - 1080 = 0

   Разделим на 2:

   • v₁² - 21v₁ - 540 = 0

   Решим квадратное уравнение через дискриминант:

   • D = (-21)² - 4 * 1 * (-540) = 441 + 2160 = 2601
   • √D = 51

   Найдем корни:

   • v₁ = (21 ± 51) / 2
   • v₁ = (21 + 51) / 2 = 72 / 2 = 36
   • v₁ = (21 - 51) / 2 = -30 / 2 = -15

   Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 36 км/ч