15. Тип 15 № 2792

Решение:

• Пусть x — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• Скорость течения реки — 4 км/ч.
• Скорость лодки по течению: (x + 4) км/ч.
• Скорость лодки против течения: (x - 4) км/ч.
• Расстояние: 140 км.
• Время в пути по течению: \[ \frac{140}{x+4} \text{ ч} \]
• Время в пути против течения: \[ \frac{140}{x-4} \text{ ч} \]
• По условию, на обратный путь (против течения) затрачено на 2 часа меньше, чем на путь по течению. Это означает, что время движения против течения меньше времени движения по течению на 2 часа.
• Составим уравнение: olimits rac{140}{x-4} = \frac{140}{x+4} - 2
• Приведем к общему знаменателю: olimits \frac{140(x+4) - 2(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)} = 0
• olimits 140x + 560 - 2(x^2 - 16) = 0
• olimits 140x + 560 - 2x^2 + 32 = 0
• olimits -2x^2 + 140x + 592 = 0
• Разделим на -2: olimits x^2 - 70x - 296 = 0
• Найдем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4(1)(-296) = 4900 + 1184 = 6084
• olimits \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78
• Найдем x: olimits x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{70 ± 78}{2}
• Два возможных значения x: olimits x_1 = \frac{70 + 78}{2} = \frac{148}{2} = 74
• olimits x_2 = \frac{70 - 78}{2} = \frac{-8}{2} = -4
• Так как скорость не может быть отрицательной, то x = 74 км/ч.

Ответ: 74