15. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдите площадь осевого сечения.

Решение:

Осевое сечение усечённого конуса — это равнобокая трапеция.

1. Основания трапеции — это диаметры оснований конуса: \( d_1 = 2 \times 3 \text{ дм} = 6 \text{ дм} \) и \( d_2 = 2 \times 7 \text{ дм} = 14 \text{ дм} \).
2. Высоту трапеции (боковую сторону осевого сечения) можно найти, проведя из конца меньшего основания перпендикуляр к большему. Получится прямоугольный треугольник с катетами \( h \) (высота трапеции) и \( \frac{d_2 - d_1}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4 \text{ дм} \), и гипотенузой, равной образующей конуса \( l = 5 \text{ дм} \).
3. По теореме Пифагора: \( h^2 + 4^2 = 5^2 \) \( h^2 + 16 = 25 \) \( h^2 = 9 \) \( h = 3 \text{ дм} \).
4. Площадь трапеции (осевого сечения) находится по формуле: \( S = \frac{d_1 + d_2}{2} \times h \).
5. Подставляем значения: \( S = \frac{6 \text{ дм} + 14 \text{ дм}}{2} \times 3 \text{ дм} = \frac{20}{2} \times 3 = 10 \times 3 = 30 \text{ дм}^2 \).

Ответ: 30 дм².