15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 2, DC = 13. Площадь треугольника ABC равна 75. Найдите площадь треугольника ABD.

Задание 15. Площадь треугольника

Дано:

• Точка D на стороне AC.
• AD = 2
• DC = 13
• Площадь треугольника ABC: \( S_{ABC} = 75 \)

Найти: Площадь треугольника ABD: \( S_{ABD} \).

Решение:

Треугольники ABD и CBD имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B к основанию AC. Отношение их площадей равно отношению их оснований.

Сначала найдем длину стороны AC:

\( AC = AD + DC = 2 + 13 = 15 \)

Теперь найдем отношение оснований AD и AC:

\( \frac{AD}{AC} = \frac{2}{15} \)

Площадь треугольника ABD относится к площади треугольника ABC так же, как их основания AD и AC:

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} \]

Выразим площадь треугольника ABD:

\[ S_{ABD} = S_{ABC} \times \frac{AD}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ S_{ABD} = 75 \times \frac{2}{15} \]

Вычислим:

\[ S_{ABD} = \frac{75 \times 2}{15} = \frac{150}{15} = 10 \]

Ответ: Площадь треугольника ABD равна 10.