15. Докажите неравенство: (a + b)² ≥ 4ab для любых действительных чисел а и b.

Решение:

Рассмотрим неравенство \( (a + b)^2 \ge 4ab \>.
Раскроем скобки в левой части:

\[ a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0 \]\[ a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \]

Выражение \( a^2 - 2ab + b^2 \) является полным квадратом разности:

\[ (a - b)^2 \ge 0 \]

Это неравенство верно для любых действительных чисел \( a \) и \( b \), так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Следовательно, исходное неравенство \( (a + b)^2 \ge 4ab \) также верно для любых действительных чисел \( a \) и \( b \>.

Ответ: Неравенство доказано.