15. Диагонали ромба относятся как 3 : 5. Периметр ромба равен 136. Найдите высоту ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба \( d_1 = 3x \) и \( d_2 = 5x \).

Сторона ромба \( a \) находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
\[ a^2 = \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{5x}{2}\right)^2 \]
\[ a^2 = \frac{9x^2}{4} + \frac{25x^2}{4} = \frac{34x^2}{4} \]
\[ a = \sqrt{\frac{34x^2}{4}} = \frac{x\sqrt{34}}{2} \]

Периметр ромба \( P = 4a \).

\( 136 = 4 \cdot \frac{x\sqrt{34}}{2} \)

\( 136 = 2x\sqrt{34} \)

\( x = \frac{136}{2\sqrt{34}} = \frac{68}{\sqrt{34}} = \frac{68\sqrt{34}}{34} = 2\sqrt{34} \)

Диагонали:

\( d_1 = 3x = 3 \cdot 2\sqrt{34} = 6\sqrt{34} \)

\( d_2 = 5x = 5 \cdot 2\sqrt{34} = 10\sqrt{34} \)

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \)

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{34} \cdot 10\sqrt{34} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 34 = 30 \cdot 34 = 1020 \]

Также площадь ромба равна \( S = ah \), где \( h \) — высота.

\( 1020 = a \cdot h \)

\( a = \frac{136}{4} = 34 \)

\( h = \frac{S}{a} = \frac{1020}{34} = 30 \)

Ответ: 30.