15. (3 балла) Решите уравнение √x-2=x-8

Решение:

Перенесём \( \sqrt{x-2} \) в правую часть, а \( x-8 \) в левую:

\[ - (x - 8) = - \sqrt{x-2} \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (x-8)^2 = (\sqrt{x-2})^2 \]

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\[ x^2 - 16x + 64 = x - 2 \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 16x - x + 64 + 2 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - 17x + 66 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66 = 289 - 264 = 25 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11 \]

Проверим корень \( x = 11 \) в исходном уравнении:

\[ \sqrt{11-2} = 11-8 \]

\(\sqrt{9} = 3 \)

\( 3 = 3 \)

Корень \( x = 11 \) подходит.

Теперь найдем второй корень:

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \]

Проверим корень \( x = 6 \) в исходном уравнении:

\[ \sqrt{6-2} = 6-8 \]

\(\sqrt{4} = -2 \)

\( 2 = -2 \)

Корень \( x = 6 \) не подходит, так как \( 2 \neq -2 \).

Ответ: \( x = 11 \)