15. (3 балла) Решите уравнение √x²-14x = 2

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x^2 - 14x})^2 = 2^2 \]
\[ x^2 - 14x = 4 \]

Перенесём всё в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 14x - 4 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 196 + 16 = 212 \]

Найдём корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{212}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 53}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{53}}{2} = 7 \pm \sqrt{53} \]

Проверка:

При \( x = 7 + \sqrt{53} \): \( \sqrt{(7+\sqrt{53})^2 - 14(7+\sqrt{53})} = \sqrt{49 + 14\sqrt{53} + 53 - 98 - 14\sqrt{53}} = \sqrt{102 - 98} = \sqrt{4} = 2 \). Верно.

При \( x = 7 - \sqrt{53} \): \( \sqrt{(7-\sqrt{53})^2 - 14(7-\sqrt{53})} = \sqrt{49 - 14\sqrt{53} + 53 - 98 + 14\sqrt{53}} = \sqrt{102 - 98} = \sqrt{4} = 2 \). Верно.

Ответ: \( 7 \pm \sqrt{53} \).